Для расчета предельной допустимой погрешности. Погрешности измерения. По характеру проявления

Измерение - это комплекс операций, целью которых является определить величину некоторого значения. Результат измерения - это три параметра: число, единицы и неопределённость. Результат измерения записывается так: Y = (x±u)[M], например L = (7.4±0.2)м. Единица измерения - это относительная единица, которую мы используем в качестве физической величины. Число - это количество единиц измерения, которое содержит в себе измеряемый объект. И, наконец, неопределённость - это степень приближения измеренной величины к измеряемой.

Погрешность измерений

Любое измерение содержит два типа погрешностей: случайные и систематические. Случайные погрешности вызваны вероятностными событиями, которые имеют место в любом измерении. Случайные погрешности не имеют закономерности, поэтому при большом количестве измерений среднее значение случайной погрешности стремится к нулю. Систематические погрешности возникают при сколь угодно большом количестве измерений. Систематические погрешности могут быть уменьшены только если известна причина, например, неправильное использование инструмента.

Влияние косвенных факторов

Существуют факторы, которые косвенно влияют на результат измерения и не входят в состав измеряемой величины. Например, при измерении длины профиля, длина профиля зависит от температуры профиля, а результат измерения в косвенной форме зависит от температуры микрометра. В таком случае, в результате замера должна быть описана температура, при которой производился замер. Другой пример: при измерении длины профиля с помощью лазера на результат измерения косвенно влияют температура воздуха, атмосферное давление и влажность воздуха.

Таким образом, что бы результат измерения был репрезентативен, необходимо определить условия измерения: определить факторы, влияющие на измерение; выбрать соответствующие инструменты; определить измеряемый объект; использовать соответствующий режим работы. Такие условия измерений определяются нормами для того, что бы результаты измерений можно было воспроизвести и сравнить , такие условия называются нормальными условиями для измерения .

Корректирование результатов измерений

В некоторых случаях существует возможность корректирования результата измерения, когда невозможно соблюдение нормальных условий. Введение такой корректировки усложняет измерение и часто требует измерения других величин. Например, измерение длины профиля при температуре θ, отличной от нормальной, 20°C, может быть скорректировано следующей формулой: l" 20 = l" θ . Корректировка калибровки измерительного устройства при 20°C - C c . Таким образом, длина профиля определяется такой зависимостью: l 20 = f(l" θ ,α,θ,C c).

В общем виде, результат измерения будет выражен зависимостью от других измерений: y = f(x 1 ,x 2 ,...x N), где f может быть аналитической функцией, распределением вероятности или даже быть частично неизвестной функцией. Корректирование результатотв уменьшает неточность измерений, но таким способом невозможно уменьшить неточность измерений до нуля.

Метрологическая лаборатория

Лаборатория метрологии должна контролировать все косвенные факторы измерения. Условия зависят от типа и точности измерений. Так, лабораторией может считаться даже отдел измерений на производстве. Ниже будет рассказано об основных требованиях к метрологической лаборатории.

Расположение

Метрологическая лаборатория должна быть расположена максимально удалённо от других зданий, находится на самом низком этаже (лучше - в подвале) и обладать достаточной изоляцией от шума, перепада температур, вибраций и других источников раздражения.

Температура

В метрологической лаборатории должен соблюдаться температурный режим, который учитывает находящихся в лаборатории сотрудников. Необходимо наличие системы кондиционирования воздуха и отопления.

Влажность

Влажность должна поддерживаться минимально допустимой для работы - около 40%.

Чистота воздуха

В воздухе не должны присутствовать взвеси размером больше одного микрометра.

Освещение

Освещение должно производиться люминесцентными лампами холодного цвета, освещённость должна составлять от 800 до 1000 лк.

Неопределённость измерительного инструмента

Неопределённость может быть определена посредством сравнения результатов замеров с образцом или замером инструментом более высокой точности. В процессе калибровки инструмента выводится корректировочное значение и неопределённость.

Пример калибровки микрометра

Замерив образец заранее известной длины, мы получим значение корректировки, c. Таким образом, если длина, измеренная инструментом равна x 0 , фактическая длина будет равна x c = x 0 + c.

Произведём n c замеров образца и получим отклонение s c . Теперь, при любых замерах откалиброванным микрометром, значение неопределённости u будет равно: u = √(u 2 0 + s 2 c /n c + u 2 m /n), u m - отклонение полученное при n замерах.

Допуск

На производстве используют понятие допуск, устанавливая верхнее и нижнее значение, в пределах которых измеряемый объект не считается браком. Например, при производстве конденсаторов ёмкостью 100±5% мкФ устанавливается допуск 5%, это означает, что на этапе контроля качества при замере ёмкости конденсатора, конденсаторы ёмкостью более 105 мкФ и менее 95 мкФ считаются браком.

При контроле качества необходимо учитывать неопределённость измерительного инструмента, так, если неопределённость измерения ёмкости конденсатора составляет 2 мкФ, то результат измерения 95 мкФ может означать 93-97 мкФ. Для учёта неопределённости в результатах измерений необходимо расширить понятие допуска: в допуске должна быть учтена неопределённость измерительного прибора. Для этого необходимо задать доверительный интервал, т.е. процент деталей, который должен гарантированно соответствовать заданным параметрам.

Доверительный интервал строится по нормальному распределению: считается, что результат измерения соответствует нормальному распределению μ±kσ. Вероятность нахождения значения в пределах ku зависит от значения k: при k=1 68,3% измерений попадут в значение σ±u, при k=3 - 99,7%.

Модель измерения

В большинстве случаев, искомая величина Y не замеряется непосредственно, а определяется как функция некоторых измерений X 1 , X 2 , ... X n . Такая функция называется моделью измерений , при этом каждая величина X i также может являться моделью измерений.

При выборе измерительных средств и методов контроля изделий учитывают совокупность метрологических, эксплуатационных и экономических показателей. К метрологическим показателям относятся: допустимая погрешность измерительного прибора-инструмента; цена деления шкалы; порог чувствительности; пределы измерения и др. К эксплуатационным и экономическим показате-лям относятся: стоимость и надежность измерительных средств; продолжительность работы (до ремонта); время, затрачиваемое на настройку и процесс измерения; масса, габаритные размеры и рабочая нагрузка.

Выбор измерительных средств для контроля размеров

На рис. 3.3 показаны кривые распределения размеров деталей (утех) и погрешностей измерения (умет) с центрами, совпадающими с границами допуска. В результате наложения кривых умет и утех происходит искажение кривой распределения у(тех, мет), появляются области вероятностей т и п, обусловливающие выход размера за границу допуска на величину с. Таким образом, чем точнее технологический процесс (меньше отношение /мет), тем меньше неправильно принятых деталей по сравнению с неправильно забракованными.

Решающим фактором является допускаемая погрешность измерительного средства, что вытекает из стандартизованного определения действительного размера как и размера, получаемого в результате измерения с допустимой погрешностью.

Допускаемые погрешности измерения изм при приёмочном контроле на линейные размеры до 500 мм устанавливаются ГОСТом 8.051, которые составляют 35-20% от допуска на изготовление детали IT. По этому стандарту предусмотрены наибольшие допускаемые погрешности измерения, включающие погрешности от средств измерений, установочных мер, температурных деформаций, измерительного усилия, базирования детали. Допускаемая погрешность измерения изм состоит из случайной и неучтённой систематической составляющих погрешности. При этом случайная составляющая погрешности принимается равной 2 и не должна превышать 0,6 от погрешности измерения изм.

В ГОСТе 8.051 погрешность задана для однократного наблюдения. Случайная составляющая погрешности может быть значительно уменьшена за счёт многократных наблюдений, при которых она уменьшается в раз, где n - число наблюдений. При этом за действительный размер принимается среднеарифметическое из серии проведённых наблюдений.

При арбитражной перепроверке деталей погрешность измерения не должна превышать 30% предела погрешности, допускаемой при приёмке.

Значения допустимой погрешности измерения изм на угловые размеры установлены по ГОСТу 8.050 - 73.

Для определения т с другой доверительной вероятностью необходимо сместить начало координат по оси ординат.

Кривые графиков (сплошные и пунктирные) соответствуют определенному значению относительной погрешности измерения, равной

где -- среднее квадратическое отклонение погрешности измерения;

IТ--допуск контролируемого размера.

Амет() = 16 % для квалитетов 2--7, Амет() =12 % - для квалитетов 8, 9,

Амет() =10 % - для квалитетов 10 и грубее.

Параметры т, п и с приведены на графиках в зависимости от значения IT/тех, где тех -- среднее квадратическое отклонение погрешности изготовления. Параметры m, n и с даны при симметричном расположении поля допуска относительно центра группирования контролируемых деталей. Для определяется m, n и с при совместном влиянии систематической и случайной погрешностей изготовления пользуются теми же графиками, но вместо значения IT/тех принимается

для одной границы,

а для другой - ,

где Т -- систематическая погрешность изготовления.

При определении параметров m и n для каждой границы берется половина получаемых значений.

Возможные предельные значения параметров т, п и с/IТ, соответствующие экстремальным значениям кривых (на рис. 3.4 - 3.6), приведены в табл.3.5.

Таблица 3.5

Первые значения т и п соответствуют распределению погрешностей измерения по нормальному закону, вторые -- по закону равной вероятности.

Предельные значения параметров т, п и с/IТ учитывают влияние только случайной составляющей погрешности измерения.

ГОСТ 8.051--81 предусматривает два способа установления приемочных границ.

Первый способ. Приемочные границы устанавливают совпадающими с предельными размерами (рис. 3.7, а).

Пример. При проектировании вала диаметром 100 мм оценено, что отклонения его размеров для условий эксплуатации должны соответствовать h6(100-0,022). В соответствии с ГОСТом 8.051 - 81 устанавливают, что для размера вала 100 мм и допуска IТ=0,022 мм допускаемая погрешность измерения изм = 0,006 мм.

В соответствии с табл. 3.5 устанавливают, что для Aмет() = 16% и неизвестной точности технологического процесса m = 5,0 и с = 0,25IТ, т. е. среди годных деталей может оказаться до 5,0 % неправильно принятых деталей с предельными отклонениями +0,0055 и -0,0275 мм.

Приемочные границы

Рис.3.7. Варианты расположения приемочных границ по отношению к полю допуска

Если полученные данные не повлияют на эксплуатационные показатели вала, то на чертежах указывают первоначально выбранный квалитет. В противном случае назначают более точный квалитет или другое поле допуска в этом квалитете.

Второй способ. Приемочные границы смещают внутрь относительно предельных размеров.

При введении производственного допуска могут быть два варианта в зависимости от того, известна или неизвестна точность технологического процесса.

Вариант 1. При назначении предельных размеров точность технологического процесса неизвестна. В соответствии с ГОСТом 8.051--81 предельные размеры изменяются на половину допускаемой погрешности измерения (рис. 3.7, б). Для примера, рассмотренного выше, диаметр.

Вариант 2. При назначении предельных размеров точность технологического процесса известна. В этом случае предельные размеры уменьшают на значение параметра с (рис. 3.7, в).

Предположим, что для рассмотренного выше примера IТ/тех = 4 (при изготовлении имеется 4,5% брака по обеим границам): Aмет() = 16%, с/IT = 0,1; c = 0,0022 мм.

Погрешность – это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

Истинное значение ФВ может быть установлено лишь путем проведения бесконечного числа измерений, что невозможно реализовать на практике. Истинное значение измеряемой величины является недостижимым, а для анализа погрешностей в качестве значения ближайшего к истинному, используют действительное значение измеряемой величины, значение получают с использованием самых совершенных методом измерений и самых высокоточных средств измерений. Таким образом, погрешность измерений представляет собой отклонение от действительного значения ∆=Xд – Хизм

Погрешность сопровождает все измерения и связана с несовершенством метода, средства измерения, условия измерения (когда они отличаются от н.у.).

В зависимости от принципов действия прибора те или иные факторы оказывают влияние.

Различают погрешности СИ и результата измерений за счет влияния внешних условий, особенностей измеряемой величины, несовершенства СИ.

Погрешность результата измерений включает в себя погрешность и средства измерений, также влияние условий проведения измерений, свойств объекта и измеряемой величины ∆ри=∆си+∆ву+∆св.о+∆сив.

Классификация погрешностей:

1) По способу выражения:

a) Абсолютная – погрешность, выраженная в единицах измеряемой величины ∆=Хд-Хизм

b) Относительная – погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности к результате измерений или действительному значению измеряемой величины γотн=(∆/Xд)* 100 .

c) Приведенная – это относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условию, принятому значению величины постоянному во всем диапазоне измерений (или части диапазона) γприв=(∆/Xнорм)*100, где Хнорм – нормирующее значение, установленное для приведенных значений. Выбор Хнорм производится в соответствии с ГОСТом 8.009-84. Это может быть верхний предел средства измерений, диапазон измерений, длина шкалы и т.л. Для множества средств измерений по приведенной погрешности устанавливают класс точности. Приведенная погрешность вводится потому что относительная характеризует погрешность только в данной точке шкалы и зависит от значения измеряемой величины.

2) По причинам и условиям возникновения:

a) Основная - это погрешность средств измерения, которое находятся в нормальных условиях эксплуатации, возникает из-за неидеальности функции преобразования и вообще неидеальности свойств средств измерений и отражает отличие действительной функции преобразования средств измерения в н.у. от номинальной нормированной документами на средства измерений (стандарты, тех. условия). Нормативными документами предусматриваются следующие н.у.:

Температура окружающей среды (20±5)°С;
Относительная влажность (65±15)%;
напряжение питания сети (220±4,4)В;
частота питания сети (50±1)Гц;
отсутствие эл. и магн. полей;
положение прибора горизонтальное, с отклонением ±2°.

Рабочие условия измерений – это условия, при которых значения влияющих величин находятся в пределах рабочих областей, для которых нормируют дополнительную погрешность или изменение показаний СИ.

Например, для конденсаторов нормируют дополнительную погрешность, связанную с отклонением температуры от нормальной; для амперметра отклонение частоты переменного тока 50 Гц.

b) Дополнительная – это составляющая погрешности средств измерений, возникающая дополнительно к основной, вследствие отклонения какой-либо из влияющих величин от нормы её значения или вследствие её выхода за пределы нормированной области значений. Обычно нормируется наибольшее значение дополнительной погрешности.

Предел допускаемой основной погрешности – наиб. основная погрешность средств измерения, при которой СИ может быть годным и допущено к применению по тех. условиям.

Предел допускаемой дополнительной погрешности – наибольшая дополнительная погрешность, при которой СИ допущено к применению.

Например, для прибора с КТ 1.0 приведенная дополнительная погрешность по температуре не должна превышать ±1% при изменении температуры на каждые 10°.

Пределы, допустимой основной и дополнительной погрешности могут быть выражены в форме абсолютной, относительной или приведенной погрешности.

Для того чтобы иметь возможность выбирать СИ путем сравнения их характеристик вводят обобщенную характеристику данного типа СИ – класс точности (КТ) . Обычно это предел допускаемых основной и дополнительной погрешностей. КТ позволяет судить в каких пределах находится погрешность СИ одного типа, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью каждого из этих СИ, т.к. погрешность зависит также от метода, условий измерений и т.д. Это нужно учитывать при выборе СИ в зависимости от заданной точности.

Значения КТ устанавливаются в стандартах или в технических условиях или других нормативных документах и выбираются в соответствии с ГОСТ 8.401-80 из стандартного ряда значений. Например, для электромеханических приборов: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1.0; 2,5; 4.0; 6.0.

Зная КТ СИ можно найти максимально допустимое значение абсолютной погрешности для всех точек диапазона измерений из формулы для приведенной погрешности: ∆maxдоп=(γприв*Xнорм)/100.

КТ обычно наносят на шкалу прибора в разных формах, например,(2.5) (в кружочке).

3) По характеру изменений:

a) систематические – составляющая погрешности, остающаяся постоянной или изменяющаяся по известной закономерности во все время проведения измерений. Может быть исключена из результатов измерения путем регулировки или введением поправок. К ним относят: методические П, инструментальные П, субъективные П и т д. Такое качество СИ, когда систематическая погрешность близка к нуля называют правильностью.

b) случайные – это составляющие погрешности, изменяющиеся случайным образом, причины нельзя точно указать, а значит, и устранить нельзя. Приводят к неоднозначности показаний. Уменьшение возможно при многократных измерениях и последующей статистической обработке результатов. Т.е. усредненный результат многократных измерений ближе к действительному значению, чем результат одного измерения. Качество, которое характеризуется близостью к нулю случайной составляющей погрешности называется сходимостью показаний этого прибора.

c) промахи – грубые погрешности, связанные с ошибками оператора или неучтенными внешними воздействиями. Их обычно исключают из результатов измерений, не учитывают при обработке результатов.

4) По зависимости от измеряемой величины:

a) Аддитивные погрешности (не зависит от измеряемой величины)

b) Мультипликативные погрешности (пропорционально значению измеряемой величины).

Мультипликативная погрешность по-другому называется погрешностью чувствительности.

Аддитивная погрешность обычно возникает из-за шумов, наводок, вибраций, трения в опорах. Пример: погрешность нуля и погрешность дискретности (квантования).

Мультипликативная погрешность вызывается погрешностью регулировки отдельных элементов измерительных приборов. Например, из-за старения (погрешность чувствительности СИ).

В зависимости от того, какая погрешность прибора является существенной, нормируют метрологические характеристики.

Если существенна аддитивная погрешность, то предел допустимой основной погрешности нормируют в виде приведенной погрешности.

Если существенна мультипликативная погрешность, то предел допустимой основной погрешности определяют по формуле относительной погрешности.

Тогда относительная суммарная погрешность: γотн=Δ/Х= γадд + γмульт= γадд+ γмульт+ γадд*Xнорм/Х– γадд=±, где с= γадд+ γмульт; d= γадд.

Это способ нормирования метрологических характеристик когда аддитивная и мультипликативная составляющие погрешности соизмеримы, т.е. предел относительной допустимой основной погрешности выражается в двучленной формуле соответственно и обозначение КТ состоит из двух чисел, выражающих c и d в %, разделенных косой чертой. Например, 0.02/0,01. Это удобно, т.к. число с – это относит.погрешность СИ в н.у. Второй член формулы характеризует увеличение относительной погрешности измерения при увеличении величины Х, т.е. характеризует влияние аддитивной составляющей погрешности.

5) В зависимости от влияния характера изменения измеряемой величины :

a) Статическая – погрешность СИ при измерении неизменной или медленно изменяющейся величины.

b) Динамическая – погрешность СИ, возникающая при измерении быстро меняющейся во времени ФВ. Динамическая погрешность является следствием инерционности прибора.

Вследствие погрешностей, присущих средству измерений, выбранному методу и методике измерений, отличия внешних условий, в которых выполняется измерение, от установленных, и других причин результат практически каждого измерения отягощен погрешностью. Эта погрешность вычисляется или оценивается и приписывается полученному результату.

Погрешность результата измерений (кратко — погрешность измерений) — отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

Истинное значение величины вследствие наличия погрешностей остается неизвестным. Его применяют при решении теоретических задач метрологии. На практике пользуются действительным значением величины, которое заменяет истинное значение.

Погрешность измерения (Δх) находят по формуле:

x = x изм. - x действ. (1.3)

где х изм. — значение величины, полученное на основании измерений; х действ. — значение величины, принятое за действительное.

За действительное значение при однократных измерениях нередко принимают значение, полученное с помощью образцового средства измерений, при многократных измерениях — среднее арифметическое из значений отдельных измерений, входящих в данный ряд.

Погрешности измерения могут быть классифицированы по следующим признакам:

По характеру проявления — систематические и случайные;

По способу выражения — абсолютные и относительные;

По условиям изменения измеряемой величины — статические и динамические;

По способу обработки ряда измерений — средние арифметические и средние квадратические;

По полноте охвата измерительной задачи — частные и полные;

По отношению к единице физической величины — погрешности воспроизведения единицы, хранения единицы и передачи размера единицы.

Систематическая погрешность измерения (кратко — систематическая погрешность) — составляющая погрешности результата измерения, остающаяся постоянной для данного ряда измерений или же закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины.

По характеру проявления систематические погрешности подразделяются на постоянные, прогрессивные и периодические. Постоянные систематические погрешности (кратко — постоянные погрешности) — погрешности, длительное время сохраняющие свое значение (например, в течение всей серии измерений). Это наиболее часто встречающийся вид погрешности.

Прогрессивные систематические погрешности (кратко — прогрессивные погрешности) — непрерывно возрастающие или убывающие погрешности (например, погрешности от износа измерительных наконечников, контактирующих в процессе шлифования с деталью при контроле ее прибором активного контроля).

Периодическая систематическая погрешность (кратко — периодическая погрешность) — погрешность, значение которой является функцией времени или функцией перемещения указателя измерительного прибора (например, наличие эксцентриситета в угломерных приборах с круговой шкалой вызывает систематическую погрешность, изменяющуюся по периодическому закону).

Исходя из причин появления систематических погрешностей, различают инструментальные погрешности, погрешности метода, субъективные погрешности и погрешности вследствие отклонения внешних условий измерения от установленных методиками.

Инструментальная погрешность измерения (кратко — инструментальная погрешность) является следствием ряда причин: износ деталей прибора, излишнее трение в механизме прибора, неточное нанесение штрихов на шкалу, несоответствие действительного и номинального значений меры и др.

Погрешность метода измерений (кратко — погрешность метода) может возникнуть из-за несовершенства метода измерений или допущенных его упрощений, установленных методикой измерений. Например, такая погрешность может быть обусловлена недостаточным быстродействием применяемых средств измерений при измерении параметров быстропротекающих процессов или неучтенными примесями при определении плотности вещества по результатам измерения его массы и объема.

Субъективная погрешность измерения (кратко — субъективная погрешность) обусловлена индивидуальными погрешностями оператора. Иногда эту погрешность называют личной разностью. Она вызывается, например, запаздыванием или опережением принятия оператором сигнала.

Погрешность вследствие отклонения (в одну сторону) внешних условий измерения от установленных методикой измерения приводит к возникновению систематической составляющей погрешности измерения.

Систематические погрешности искажают результат измерения, поэтому они подлежат исключению, насколько это возможно, путем введения поправок или юстировкой прибора с доведением систематических погрешностей до допустимого минимума.

Неисключенная систематическая погрешность (кратко — неисключенная погрешность) — это погрешность результата измерений, обусловленная погрешностью вычисления и введения поправки на действие систематической погрешности, или небольшой систематической погрешностью, поправка на действие которой не введена вследствие малости.

Иногда этот вид погрешности называют неисключенными остатками систематической погрешности (кратко — неисключенные остатки). Например, при измерении длины штрихового метра в длинах волн эталонного излучения выявлено несколько неисключенных систематических погрешностей (i): из-за неточного измерения температуры — 1 ; из-за неточного определения показателя преломления воздуха — 2 , из-за неточного значения длины волны — 3 .

Обычно учитывают сумму неисключенных систематических погрешностей (устанавливают их границы). При числе слагаемых N ≤ 3 границы неисключенных систематических погрешностей вычисляют по формуле

При числе слагаемых N ≥ 4 для вычислений используют формулу

(1.5)

где k — коэффициент зависимости неисключенных систематических погрешностей от выбранной доверительной вероятности Р при их равномерном распределении. При Р = 0,99, k = 1,4, при Р = 0,95, k = 1,1.

Случайная погрешность измерения (кратко — случайная погрешность) — составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в серии измерений одного и того же размера физической величины. Причины случайных погрешностей: погрешности округления при отсчете показаний, вариация показаний, изменение условий измерений случайного характера и др.

Случайные погрешности вызывают рассеяние результатов измерений в серии.

В основе теории погрешностей лежат два положения, подтверждаемые практикой:

1. При большом числе измерений случайные погрешности одинакового числового значения, но разного знака, встречаются одинаково часто;

2. Большие (по абсолютному значению) погрешности встречаются реже, чем малые.

Из первого положения следует важный для практики вывод: при увеличении числа измерений случайная погрешность результата, полученного из серии измерений, уменьшается, так как сумма погрешностей отдельных измерений данной серии стремится к нулю, т. е.

(1.6)

Например, в результате измерений получен ряд значений электрического сопротивления (в которые введены поправки на действия систематических погрешностей): R 1 = 15,5 Ом, R 2 = 15,6 Ом, R 3 = 15,4 Ом, R 4 = 15,6 Ом и R 5 = 15,4 Ом. Отсюда R = 15,5 Ом. Отклонения от R (R 1 = 0,0; R 2 = +0,1 Ом, R 3 = -0,1 Ом, R 4 = +0,1 Ом и R 5 = -0,1 Ом) представляют собой случайные погрешности отдельных измерений в данной серии. Нетрудно убедиться, что сумма R i = 0,0. Это свидетельствует о том, что погрешности отдельных измерений данного ряда вычислены правильно.

Несмотря на то, что с увеличением числа измерений сумма случайных погрешностей стремится к нулю (в данном примере она случайно получилась равной нулю), обязательно производится оценка случайной погрешности результата измерений. В теории случайных величин характеристикой рассеяния значений случайной величины служит дисперсия о2. "|/о2 = а называют средним квадратическим отклонением генеральной совокупности или стандартным отклонением.

Оно более удобно, чем дисперсия, так как его размерность совпадает с размерностью измеряемой величины (например, значение величины получено в вольтах, среднее квадратическое отклонение тоже будет в вольтах). Так как в практике измерений имеют дело с термином «погрешность», для характеристики ряда измерений следует применять производный от него термин «средняя квадратическая погрешность». Характеристикой ряда измерений может служить средняя арифметическая погрешность или размах результатов измерений.

Размах результатов измерений (кратко — размах) — алгебраическая разность наибольшего и наименьшего результатов отдельных измерений, образующих ряд (или выборку) из n измерений:

R n = X max - Х min (1.7)

где R n — размах; X max и Х min — наибольшее и наименьшее значения величины в данном ряду измерений.

Например, из пяти измерений диаметра d отверстия значения R 5 = 25,56 мм и R 1 = 25,51 мм оказались максимальным и минимальным его значением. В этом случае R n = d 5 — d 1 = 25,56 мм — 25,51 мм = 0,05 мм. Это означает, что остальные погрешности данного ряда менее 0,05 мм.

Средняя арифметическая погрешность отдельного измерения в серии (кратко — средняя арифметическая погрешность) — обобщенная характеристика рассеяния (вследствие случайных причин) отдельных результатов измерений (одной и той же величины), входящих в серию из n равноточных независимых измерений, вычисляется по формуле

(1.8)

где Х і — результат і-го измерения, входящего в серию; х — среднее арифметическое из n значений величины: |Х і - X| — абсолютное значение погрешности i-го измерения; r — средняя арифметическая погрешность.

Истинное значение средней арифметической погрешности р определяется из соотношения

р = lim r, (1.9)

При числе измерений n > 30 между средней арифметической (r) и средней квадратической (s) погрешностями существуют соотношения

s = 1,25 r; r и= 0,80 s. (1.10)

Преимущество средней арифметической погрешности — простота ее вычисления. Но все же чаще определяют среднюю квадратическую погрешность.

Средняя квадратическая погрешность отдельного измерения в серии (кратко — средняя квадратическая погрешность) — обобщенная характеристика рассеяния (вследствие случайных причин) отдельных результатов измерений (одной и той же величины), входящих в серию из п равноточных независимых измерений, вычисляемая по формуле

(1.11)

Средняя квадратическая погрешность для генеральной выборки о, являющаяся статистическим пределом S, может быть вычислена при /і-мх > по формуле:

Σ = lim S (1.12)

В действительности число измерений всегда ограничено, поэтому вычисляется не σ, а ее приближенное значение (или оценка), которым является s. Чем больше п, тем s ближе к своему пределу σ.

При нормальном законе распределения вероятность того, что погрешность отдельного измерения в серии не превзойдет вычисленную среднюю квадратическую погрешность, невелика: 0,68. Следовательно, в 32 случаях из 100 или 3 случаях из 10 действительная погрешность может быть больше вычисленной.

Рисунок 1.2 Уменьшение значения случайной погрешности результата многократного измерения при увеличении числа измерений в серии

В серии измерений существует зависимость между средней квадратической погрешностью отдельного измерения s и средней квадратической погрешностью арифметического среднего S x:

которую нередко называют «правилом У n». Из этого правила следует, что погрешность измерений вследствие действия случайных причин может быть уменьшена в уn раз, если выполнять n измерений одного размера какой-либо величины, а за окончательный результат принимать среднее арифметическое значение (рис. 1.2).

Выполнение не менее 5 измерений в серии дает возможность уменьшить влияние случайных погрешностей более чем в 2 раза. При 10 измерениях влияние случайной погрешности уменьшается в 3 раза. Дальнейшее увеличение числа измерений не всегда экономически целесообразно и, как правило, осуществляется лишь при ответственных измерениях, требующих высокой точности.

Средняя квадратическая погрешность отдельного измерения из ряда однородных двойных измерений S α вычисляется по формуле

(1.14)

где x" i и х"" i — і-ые результаты измерений одного размера величины при прямом и обратном направлениях одним средством измерений.

При неравноточных измерениях среднюю квадратическую погрешность арифметического среднего в серии определяют по формуле

(1.15)

где p i — вес і-го измерения в серии неравноточных измерений.

Среднюю квадратическую погрешность результата косвенных измерений величины Y, являющейся функцией Y = F (X 1 , X 2 , X n), вычисляют по формуле

(1.16)

где S 1 , S 2 , S n — средние квадратические погрешности результатов измерений величин X 1 , X 2 , X n .

Если для большей надежности получения удовлетворительного результата проводят несколько серий измерений, среднюю квадратическую погрешность отдельного измерения из m серий (S m) находят по формуле

(1.17)

Где n — число измерений в серии; N — общее число измерений во всех сериях; m — число серий.

При ограниченном числе измерений часто необходимо знать погрешность средней квадратической погрешности. Для определения погрешности S, вычисляемой по формуле (2.7), и погрешности S m , вычисляемой по формуле (2.12), можно воспользоваться следующими выражениями

(1.18)

(1.19)

где S и S m — средние квадратические погрешности соответственно S и S m .

Например, при обработке результатов ряда измерений длины х получены

= 86 мм 2 при n = 10,

= 3,1 мм

= 0,7 мм или S = ±0,7 мм

Значение S = ±0,7 мм означает, что из-за погрешности вычисления s находится в пределах от 2,4 до 3,8 мм, следовательно, десятые доли миллиметра здесь ненадежны. В рассмотренном случае надо записать: S = ±3 мм.

Чтобы иметь большую уверенность в оценке погрешности результата измерений, вычисляют доверительную погрешность или доверительные границы погрешности. При нормальном законе распределения доверительные границы погрешности вычисляют как ±t-s или ±t-s x , где s и s x — средние квадратические погрешности соответственно отдельного измерения в серии и среднего арифметического; t — число, зависящее от доверительной вероятности Р и числа измерений n.

Важным понятием является надежность результата измерений (α), т.е. вероятность того, что искомое значение измеряемой величины попадет в данный доверительный интервал.

Например, при обработке деталей на станках в устойчивом технологическом режиме распределение погрешностей подчиняется нормальному закону. Предположим, что установлен допуск на длину детали, равный 2а. В этом случае доверительным интервалом, в котором находится искомое значение длины детали а, будет (а - а, а + а).

Если 2a = ±3s, то надежность результата a = 0,68, т. е. в 32 случаях из 100 следует ожидать выхода размера детали за допуск 2а. При оценивании качества детали по допуску 2a = ±3s надежность результата составит 0,997. В этом случае можно ожидать выхода за установленный допуск только трех деталей из 1000. Однако увеличение надежности возможно лишь при уменьшении погрешности длины детали. Так, для повышения надежности с a = 0,68 до a = 0,997 погрешность длины детали необходимо уменьшить в три раза.

В последнее время получил широкое распространение термин «достоверность измерений». В некоторых случаях он необоснованно применяется вместо термина «точность измерений». Например, в некоторых источниках можно встретить выражение «установление единства и достоверности измерений в стране». Тогда как правильнее сказать «установление единства и требуемой точности измерений». Достоверность нами рассматривается как качественная характеристика, отражающая близость к нулю случайных погрешностей. Количественно она может быть определена через недостоверность измерений.

Недостоверность измерений (кратко — недостоверность)— оценка несовпадения результатов в серии измерений вследствие влияния суммарного воздействия случайных погрешностей (определяемых статистическими и нестатистическими методами), характеризуемая областью значений, в которой находится истинное значение измеряемой величины.

В соответствии с рекомендациями Международного бюро мер и весов недостоверность выражается в виде суммарной средней квадратической погрешности измерений — Su включающей среднюю квадратическую погрешность S (определяемую статистическими методами) и среднюю квадратическую погрешность u (определяемую нестатистическими методами), т.е.

(1.20)

Предельная погрешность измерения (кратко — предельная погрешность) — максимальная погрешность измерения (плюс, минус), вероятность которой не превышает значение Р, при этом разность 1 - Р незначительная.

Например, при нормальном законе распределения вероятность появления случайной погрешности, равной ±3s, составляет 0,997, а разность 1-Р = 0,003 незначительна. Поэтому во многих случаях доверительную погрешность ±3s, принимают за предельную, т.е. пр = ±3s. В случае необходимости пр может иметь и другие соотношения с s при достаточно большом Р (2s, 2,5s, 4s и т.д.).

В связи с тем, в стандартах ГСИ вместо термина «средняя квадратическая погрешность» применен термин «среднее квадратическое откланение», в дальнейших рассуждениях мы будим придерживаться именно этого термина.

Абсолютная погрешность измерения (кратко — абсолютная погрешность) — погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины. Так, погрешность Х измерения длины детали Х, выраженная в микрометрах, представляет собой абсолютную погрешность.

Не следует путать термины «абсолютная погрешность» и «абсолютное значение погрешности», под которым понимают значение погрешности без учета знака. Так, если абсолютная погрешность измерения равна ±2мкВ, то абсолютное значение погрешности будет 0,2 мкВ.

Относительная погрешность измерения (кратко — относительная погрешность) — погрешность измерения, выраженная в долях значения измеряемой величины или в процентах. Относительную погрешность δ находят из отношений:

(1.21)

Например, имеется действительное значение длины детали х = 10,00 мм и абсолютное значение погрешности х = 0,01мм. Относительная погрешность составит

Статическая погрешность — погрешность результата измерения, обусловленная условиями статического измерения.

Динамическая погрешность — погрешность результата измерения, обусловленная условиями динамического измерения.

Погрешность воспроизведения единицы — погрешность результата измерений, выполняемых при воспроизведении единицы физической величины. Так, погрешность воспроизведения единицы при помощи государственного эталона указывают в виде ее составляющих: неисключенной систематической погрешности, характеризуемой ее границей; случайной погрешностью, характеризуемой средним квадратическим отклонением s и нестабильностью за год ν.

Погрешность передачи размера единицы — погрешность результата измерений, выполняемых при передаче размера единицы. В погрешность передачи размера единицы входят неисключенные систематические погрешности и случайные погрешности метода и средств передачи размера единицы (например, компаратора).

Качество решения измерительной задачи главным образом определяется точностью результата измерений. Для того, чтобы результат измерения мог быть принят в качестве действительного значения величины, погрешность Δ (расширенная неопределенность U) результата измерения не должна превосходить допустимую погрешность [Δ] (расширенную неопределенность [U]) измерения. (Далее в тексте используется только термин допустимая погрешность). То есть, должно выполняться условие

Δ < [Δ] или U < [U] .(14)

Допустимая погрешность измерений (точность измерений) во многих случаях (например, при оценке качества продукции, параметров технологических процессов, при осуществлении торговых операций и процедур контроля) регламентируется стандартами (в частности, стандартами на методы контроля и испытаний) или техническими условиями. Например, ГОСТ 8.051

устанавливает допустимые погрешности измерений линейных и угловых размеров.

В теплоэнергетике применяют РД 34.11.321-96 «Нормы точности измерений технологических параметров тепловых электростанций». В ГОСТ 8.549-2004 «ГСИ. Масса нефти и нефтепродуктов» приведены пределы допускаемой относительной погрешности измерений массы. ГОСТ 30247.0-2002 «Конструкции строительные. Методы испытания на огнестойкость» устанавливает допустимые погрешности измерения температуры и давления.

В рекомендациях МИ 2377 «ГСИ. Разработка и аттестация методик выполнения измерений» для случаев, когда в качестве исходных данных для установления требований к точности измерений при контроле используют допуск на контролируемый параметр, считается удовлетворительным соотношение между пределом допустимой погрешности измерений и границей симметричного поля допуска 1:5 (в ряде случаев 1:4). Допускается и соотношение 1:3, но при условии, что на контролируемый параметр будет введен производственный (суженный) допуск. Если поле допуска несимметричное или одностороннее, то допустимую погрешность измерения можно принять равной 0,25 от значения допуска [РМГ 63].

Согласно ГОСТ 8.050 предельная погрешность измерений не должна превышать 0,2…0,35 от допуска размера, а изменение погрешности из-за действия влияющих величин в нормальных условиях не более 0,35 предельной погрешности.

Допустимая погрешность измерения может быть прописана в документах на поставку продукции.

В общем случае, при заданном допуске на значение величины допустимую погрешность можно определить из соотношения

[Δ]< IT/ (2· k T ) , (15)

где IT - допуск на значение величины (показателя качества изделия);

k T - коэффициент уточнения.

Значение k T выбирают в интервале 1,5…10 в зависимости от варианта использования результатов измерения: для экспериментального исследования точности технологических операций ориентируются на большие значения, при контроле размеров с общими допусками значение коэффициента принимают близким к нижней границе. Так наиболее приемлемым вариантом при выполнении поверки или калибровки средств измерений считается k T = 10.

Значение допустимой погрешности измерения может быть установлено исходя из её влияния на экономические показатели у производителя продукции. Это влияние выражается как в стоимости средств измерения, затрат на их эксплуатацию, техническое обслуживание и ремонт, так и через убытки из-за неправильно принятых и неправильно забракованных изделий.

Неправильно принятые и неправильно забракованные изделия появляются в тех случаях, когда истинные значения их показателей качества X и , полученные при изготовлении, близки к предельным значениям. В соответствии с соотношением (2)

X = X и ± Δ

при X и ≈ x max можем иметь два частных случая

X и > x max и X = X и - Δ < x max ;

X и < x max и X = X и + Δ > x max ,

где x max - наибольшее допустимое значение показателя качества.

В первом случае истинное значение показателя качества превышает наибольшее допустимое значение, но действительное значение, вследствие проявления погрешности измерения со знаком минус, меньше наибольшего допустимого значения и изделие будет отнесено к годным изделиям (неправильно принятое изделие ). Во втором случае при X и < x max погрешность измерения проявляется со знаком плюс и годное изделие будет отнесено к бракованным изделиям (неправильно забракованное изделие ). Аналогичные рассуждения можно провести и применительно к изделиям, значения показателей качества которых находятся вблизи наименьшего допустимого значения показателя качества.

Очевидно, что количество неправильно забракованных изделий будет определять величину убытков у производителя и может быть уменьшено повторным измерением показателей качества. Влияние неправильно принятых изделий проявится у потребителей через снижение эксплуатационных показателей и преждевременные отказы. Это приведет к издержкам у производителя, связанным с обеспечением гарантийного ремонта и сервисного обслуживания, снижению доверия к нему потребителей, уменьшению конкурентоспособности продукции.

Количество неправильно принятых m и неправильно забракованных n изделий, а также вероятностная предельная величина c выхода значения показателя качества за предельные границы у неправильно принятых изделий зависят от законов распределения погрешностей измерения и изготовления, от величины допуска на изготовление и погрешности измерения. Для нормального закона распределения, которому, как правило, подчиняется рассеяние значений линейных размеров деталей, значения m ,n и c можно определить из приложения к стандарту ГОСТ 8.051. Для этого необходимо знать относительную метрологическую погрешность

А мет(σ) = (σ/IT)· 100% , (16)

где σ - среднее квадратическое отклонение погрешности измерения;

IT - допуск контролируемого размера;

и точность технологического процесса, оцениваемую отношением IT/σ тех , (σ тех - среднее квадратическое отклонение погрешности изготовления).

Графики зависимостей m , n и c , приведенные в стандарте и на рисунке 6 (для m и n ) могут быть использованы для решения прямой (нахождение m, n и c ) и обратной (определение допустимой погрешности измерения) задач.

Графики соответствуют следующим условиям:

Систематические погрешности отсутствуют;

Центр группирования размеров совпадает с серединой поля допуска;

Центр группирования погрешностей измерения совпадает с приемочными границами.

Решим обратную задачу - задавшись приемлемым значением [m ], определим допустимую погрешность измерения. Воспользуемся графиками или таблицами ГОСТ 8.051 и в зависимости от точности технологического процесса найдем А мет(σ) , при котором m < [m ]. Затем, используя формулу (16), выразим σ и найдем [Δ]

[Δ] = k ∙А мет(σ) · IT/100 .

m, %

IT/σ тех

А мет (σ)=16%

10%

1,5 %

IT/σ тех

n, %

А мет (σ)=16%

10%

1,5 %

Рис.6 Влияние погрешности измерений на оценку качества продукции (сплошные линии соответствуют распределению погрешностей измерения по нормальному закону, пунктирные – по закону равной вероятности).

Оценку количества неправильно принятых и неправильно забракованных изделий или определение допустимой погрешности измерения для показателей качества, не являющихся линейными размерами, можно выполнить, используя рекомендации книг .

При проведении научно-исследовательских работ допустимую погрешность измерений устанавливают, исходя из преследуемых задач.

Требования к точности измерений задают в виде пределов допустимых значений характеристик абсолютной или относительной погрешности измерений.

Наиболее распространенным способом выражения требований к точности измерений являются границы допускаемого интервала, в котором с заданной вероятностью Р должна находиться погрешность измерений.

Если границы симметричны, то перед их одним числовым значением ставятся знаки плюс-минус.

Способы выражения требований к точности измерений в зависимости от использования результатов измерений приведены в методических указаниях МИ 1317-2004 «ГСИ. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров» , а также в правилах ПМГ 96 – 2009 «ГСИ. Результаты и характеристики качества измерений. Формы представления» (см. раздел 3.9).

Похожая информация.